数学期望怎么看

数学期望是概率论中描述随机变量平均取值的量化指标，其核心思想是通过概率加权平均反映长期平均结果。以下是具体解析：

一、基本定义

数学期望是随机变量所有可能取值与其对应概率的乘积之和，用于衡量随机变量的“平均”水平。公式如下：

离散型随机变量：$E（X） = sum_{k=1}^{n} x_k p_k$

连续型随机变量：$E（X） = int_{a}^{b} x f（x） dx$

其中，$x_k$为取值，$p_k$为概率，$f（x）$为概率密度函数。

二、核心特性

加权平均：

不同结果根据概率大小赋予不同权重，概率越大权重越大。

长期平均：

反映重复实验的稳定值，不等于单次结果。

不一定在取值范围内：

例如掷骰子期望为3.5，但实际结果只能是1-6。

三、应用场景

金融投资：评估资产收益的长期价值，如正期望值表示值得投资。

风险评估：通过期望值判断风险与收益的平衡。

保险精算：计算赔付的平均成本。

四、与平均值的区别

普通平均值：简单算术平均，未考虑概率差异；

数学期望：概率加权的平均值，更贴近实际“平均结果”。

五、计算示例

以掷骰子为例，取值1-6，概率均为1/6，期望值为：

$$

E(X) = 1 times frac{1}{6} + 2 times frac{1}{6} + cdots + 6 times frac{1}{6} = 3.5

$$

重复实验时，点数平均值趋近于3.5。